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Als RUSSELL sich mit der Erforschung von Wellen beschäftigte, war er damit in Europa keineswegs allein, sondern einer unter vielen. Vielerorts in Großbritannien, Frankreich, Italien und im deutschsprachigen Raum wuchs unabhängig voneinander das Interesse an der Bewegung des Wassers. Und als Folge davon wuchs in dieser Zeit die Zahl der Publikationen zu dem Thema. Die Zahl der wissenschaftlichen Arbeiten, die sich mit Wellen auseinandersetzten, hatte zum Ende der dreißiger Jahre des 19. Jahrhunderts zu wachsen begonnen und erreichte in den Vierzigern einen ersten Höhepunkt [Catalogue 1909]. Untersucht wurden Wellen in verschiedensten Formen: Schiffswellen, Meereswellen, Brandung, Flachwasserwellen, Kapillarwellen u.v.m., aber auch einzelne Wellen wie Gezeiten, Flutwellen in Flüssen, stehende Wellen in Flüssen, Wellen, die sich durch Rückstau eines fließenden Gewässers bilden und eben auch die von RUSSELL erstmals ausführlich beschriebene von ihm so genannte solitäre Welle, die nicht wenig Aufmerksamkeit erhielt. RUSSELLs Arbeiten trugen somit zum Wachstum des Interesses an Wellen bei. Dies auch nicht zuletzt durch die mitreißende und klare Art seiner Darstellungen 1836, mit der er die British Association for the Advancement of Science für "sein" Thema begeistern konnte. Später rief die zum Teil harsche Kritik an RUSSELLs Arbeiten zur solitären Welle manche Kommentatoren auf den Plan, die mit Stellungnahmen, mathematischen Herleitungsversuchen oder sogar eigenen Experimenten versuchten, das neue Phänomen zu erklären. Daher gab es in den folgenden Jahrzehnten recht viele Autoren, die sich mit der solitären Wasserwelle auseinandersetzten.

Schaut man RUSSELLs vielfältige Arbeiten zu diesem Thema an, so erheben sich kaum Zweifel an seinen Ergebnissen. Die Haupteigenschaften der solitären Welle sind, wie in seiner Arbeit von 1844 deutlich wird, vielfach überprüft und klar dargestellt. Diese Eigenschaften bedurften nun einer theoretischen Erklärung. Und daß diese zu liefern kein leichtes Unterfangen war, zeigen manche späteren vergeblichen Versuche, die keinen weiterführenden Beitrag zur Erklärung der Welle zu geben vermochten. Solche Schwierigkeiten bei der Erklärung führten auch zu Fehlschlüssen und diese wiederum zu Zweifeln an der Richtigkeit von RUSSELLs Ergebnissen. Und nicht selten wurden RUSSELLs Arbeiten verurteilt, weil die Eigenschaften der solitären Welle nicht erklärbar schienen. Erschwerend kam hinzu, daß von anderen Wissenschaftlern durchgeführte ähnliche Experimente nicht die gleichen Ergebnisse lieferten wie RUSSELLs Experimente und damit zusätzlich Zweifel an RUSSELLs Ergebnissen aufkommen konnte. Da der Mechanismus der solitären Welle nicht ganz verstanden war, wurden bei Vergleichen zwischen manchen Experimenten wichtige Parameter außer Acht gelassen, wie z.B die Wellenhöhe im Verhältnis zur Wassertiefe. Die Gebrüder WEBER (s.o.) konnten durch eine zu große Wassertiefe in ihrem Becken in einem ansonsten dem Russellschen sehr ähnlichen Versuchsaufbau keine solitäre Welle beobachten. Versuche mit sehr geringer Wassertiefe lieferten dagegen schöne negative solitäre Wellen, wie die des Amerikaners DYAR [Dyar 1843]. Schon 1843 und unabhängig von RUSSELL, wie es scheint, erforschte DYAR die solitäre Welle in einem dem Russellschen sehr ähnlichen Versuchsaufbau: In einer Wanne (3,33m Länge x 16cm Breite) wurde eine positive oder negative solitäre Welle durch schnelles Eintauchen oder Herausziehen eines Gewichtes erzeugt. DYAR nannte die solitäre Welle onde élevée bzw. onde déprimée. Während es RUSSELL nicht gelungen war, eine negative solitäre Welle ohne oszillatorische Wellen zu erzeugen (s. Abb. 2.7), beschrieb DYAR seine negative Welle als exaktes Gegenbild der positiven. Da die ungleichen Eigenschaften der negativen und positiven solitären Welle RUSSELL als ein wichtiges Kriterium zur Unterscheidung der solitären von anderen Wellen diente, konnte auf diese Weise eine wichtige Eigenschaft der solitären Welle in Frage gestellt werden. DYARs Ergebnisse bei Kollisionsexperimenten stehen sogar im direkten Widerspruch zu RUSSELLs. DYAR beschrieb alle Möglichkeiten der Kollision, des Überholens, mit positiven, negativen oder beiden Arten von Wellen. Immer ist sein Resultat, daß die Wellen nach gegenseitiger Durchdringung unverändert fortlaufen. Bei RUSSELL war die negative Welle von der sie überholenden positiven vernichtet worden. DYAR beschrieb die negative Welle oder onde déprimée als gleichwertig der positiven. Weder DYAR noch RUSSELL erkannten, daß für die Stabilität der negativen "solitären" Welle deren Amplitude im Verhältnis zur Wassertiefe maßgeblich ist, worauf KORTEWEG und DE VRIES 1895 aufmerksam machten [KdV 1895]. Je kleiner die Wassertiefe ist, desto weniger oszillatorische Wellen zieht sie hinter sich her.

Der schärfste Angriff gegen RUSSELL erfolgte von GEORGE BIDDELL AIRY (1801-1892). Der durch seine vielen erfolgreichen wissenschaftlichen Aktivitäten sehr geschätzte Königliche Astronom und Direktor des Observatoriums von Greenwich hatte eine lange theoretische Abhandlung zu Gezeiten und Wellen verfaßt [Airy 1845]. In ihr ging er kritisch auf die theoretischen Arbeiten von NEWTON, BERNOULLI, LAPLACE, LAGRANGE und CAUCHY sowie auf die experimentellen Arbeiten der Gebrüder WEBER und RUSSELL ein [Rouse, Ince 1957]. Was RUSSELL betrifft, bezog sich AIRY nur auf dessen Arbeiten bis einschließlich 1840. Da RUSSELL in seiner Arbeit von 1844 auf AIRYs Abhandlung einging (wenn auch nicht namentlich, so doch deutlich genug), ist davon auszugehen, daß AIRYs Abhandlung bis 1844 schon vorgelegen hatte und AIRY keine Gelegenheit hatte, RUSSELLs spätere Ergebnisse zu berücksichtigen. AIRYs Urteil über RUSSELLs Arbeit von 1837 ist nicht eben schmeichelhaft [Airy 1845, S. 345, 350]:

"... it will be necessary, however, to make some remarks upon Mr. Russell´s references to theory, because we believe that anyone who should derive his first knowledge of the nature of waves from that paper would receive from it a most erroneous notion of the extent of the Theory of Waves at the date of those experiments. ... Meanwhile we shall repeat our opinion of the great value of the experiments which we have abstracted, but we must warn the reader against attaching any importance to the theoretical expressions which are mingled with them in the original account."

AIRYs Einwände gegen RUSSELLs theoretische Ausführungen sind durchaus begründet. Denn von den wenigen kurzen Rechnungen, die RUSSELL seinen Schlüssen hin und wieder anfügte, sind einige fehlerhaft; die meisten sind verworren und kaum wirklich hilfreich. Doch nur selten drückte RUSSELL seine Ergebnisse mathematisch aus. Seine Stärke lag in der Beobachtung und Beschreibung des Beobachteten. Diese Beobachtungen lieferten ihm eine über Jahrzehnte nicht wieder erreichte Kenntnis über "the nature of waves", zumindest was die solitäre Welle betrifft. An einer anderen Stelle führte AIRY aus [Airy 1845, S. 346]:

"We are not disposed to recognize this wave as deserving the epithets "great" or "primary", ... and we conceive that, ever since it was known that the theory of shallow waves of great length was contained in the equation

 

 

 

... the theory of the solitary wave has been perfectly well known. ... There is one particular velocity (that defined by the equation c² = gH) at which a free wave will travel along a canal of given depth H."

    η(x): Oberfläche der betrachteten Welle

AIRY war nicht bereit, in Erwägung zu ziehen, daß die solitäre Welle ein in der Theorie noch unbekanntes Phänomen sein konnte, denn er negierte die von RUSSELL gefundene Geschwindigkeitsformel c² = g(H+h), so wie er auch die von RUSSELL gefundene Andersartigkeit der negativen solitären Welle nicht akzeptierte. Seine eigenen theoretischen Erklärungen ließen keinen Raum für eine solitäre und gleichzeitig formstabile Welle. AIRYs Gleichungen konnten nur harmonische Lösungen liefern, die zum einen negative wie positive Wellen gleichwertig behandelten und zum anderen entweder eine solitäre Welle zuließen oder zeitlich unveränderte Wellen, aber niemals beides gleichzeitig. Unter der Annahme kleiner, oszillatorischer Wellen gelangte AIRY zu der Wellengeschwindigkeit

(2.3)

(AIRYs Begründungen von Annahmen, die zur Aufstellung der Gleichungen nötig sind, und seine Herleitungen sind recht langatmig und umständlich. Ihre Darstellung wird daher hier nicht wiederholt.)

Die Grenzfälle der Gleichung 2.3 gehen für sehr kleine bzw. sehr große Wellenlänge λ in die seit GERSTNER [Gerstner 1804] bzw. LAGRANGE [Lagrange 1788] bekannten Geschwindigkeiten über:

AIRY versuchte ferner die Bedingungen zu untersuchen, unter denen eine solitäre Welle doch unverändert durch einen Kanal laufen könnte. RUSSELL hatte immer periodische Funktionen für die Form der solitären Welle angegeben, zuerst die Zykloide, dann den "verschobenen Sinus". Das bedingt, daß die Funktion vor und hinter der Welle abgeschnitten wird, damit sie außerhalb der Welle konstant ist. Das war sicherlich kein mathematisch gut durchdachter Ansatz. Doch AIRY, der RUSSELLs mathematische Fähigkeiten so schmähte, tappte nun mit seiner Erklärung der solitären Welle in die gleiche Falle. Er unterstellte, daß eine unverändert laufende und solitäre Welle eine scharfe Begrenzung haben muß, außerhalb derer die Wasseroberfläche auf konstantem Niveau ruht, also die einzelne Welle durch eine diskontinuierliche Funktion beschrieben wird. Ebenso wie RUSSELL hielt es AIRY generell für sinnvoll, auch eine diskontinuierliche Funktion als Linearkombination von Sinusfunktionen zu betrachten. Die Voraussetzung stetiger Anschlußbedingungen an den Rändern der Welle führte AIRY dazu, notwendigerweise eine äußere Kraft einzuführen, die auf die Welle wirkte. Ein gezogener Kahn z.B. könne diese äußere Kraft ausüben und eine einzelne Welle aufrechterhalten, wie AIRY annahm. Ohne eine äußere Kraft, so AIRY, konnte eine freie, einzelne und unveränderte Welle nicht existieren. Im Hinblick auf RUSSELLs Experimente konnte für ihn als einziger Ausweg die Annahme einer im Verhältnis zur Wassertiefe sehr langen Wellenlänge gelten. Das jedoch führte ihn wieder zurück auf die bekannte Geschwindigkeit der Welle c² = gH. In diesem Falle konnte sich AIRY die einzelne Welle als Linearkombination sehr langwelliger Sinusfunktionen fast gleicher Wellenlänge vorstellen, was eine sehr kleine Dispersion bedeutet hätte. Das von RUSSELL beobachtete langsame Kleinerwerden der solitären Welle interpretierte AIRY dahingehend und faßte es als Bestätigung seiner Theorie auf.

AIRY hatte auch das Brechen von Wellen am Strand beschrieben und war davon ausgegangen, daß ein Aufsteilen der Wellen dadurch stattfand, daß die in der Welle oberen Wassermoleküle schneller in Richtung der Wellenbewegung geworfen wurden als die in der Welle unteren. Schon 1807 war eine ähnlicher Erklärung von YOUNG vorgeschlagen worden [Young 1807]. Nach der Gleichung von LAGRANGE (Gleichung 2.1), wenn für H die Höhe des Wassermoleküls über dem Meeresgrund angenommen wird, so erläuterte er, hat die Spitze der Welle eine höhere Geschwindigkeit als die Ränder, so daß die Welle sich aufsteilt und schließlich bricht. Es gelang jedoch im letzten Jahrhundert noch nicht, durch den Effekt des Aufsteilens der Welle die scheinbar unüberwindliche Dispersion einer Summe oszillatorischer Wellen in der Vorstellung auszugleichen und so eine solitäre Welle vorstellbar zu machen.

In seiner Arbeit von 1844 machte RUSSELL deutlich, daß die von ihm gefundene solitäre Welle nicht zu AIRYs Theorie paßte. Er hob hervor, daß er die davon abweichenden Eigenschaften besonders genau überprüft hatte und seine früheren Resultate nur bestätigen konnte:

* Die Geschwindigkeit c der solitären Welle ist gegeben durch c²= g(H+h).

 

* Ihre Amplitude braucht nicht klein zu sein.

 

* Im künstlichen Kanal ist die Abnahme der Amplitude der Welle so gering, daß sie nicht als Auseinanderlaufen der Welle angesehen werden kann. In Schiffskanälen hängt das Kleinerwerden der Welle signifikant von der Struktur der Kanalränder ab. Das sah RUSSELL als ein deutliches Indiz für Reibungsverluste an.

 

* Die negative solitäre Welle verhält sich nicht wie die positive, sondern zieht oszillatorische Wellen hinter sich her und dissipiert recht schnell (s. Abb. 2.7).

 

 

Das wichtigste, auch mathematisch am besten greifbare Kriterium zur Zurückweisung von AIRYs Kritik betraf die Geschwindigkeit der Welle. Daher wandte RUSSELL besondere Mühe darauf an, die Geschwindigkeit durch besonders viele und genaue Messungen, die er in Grafiken darstellte, über allen Zweifel erhaben zu machen. Sein besonderes experimentelles Geschick, mit einfachen Mitteln zu optimalen Ergebnissen zu kommen, kann etwa daran ersehen werden, wie er die Geschwindigkeit der solitären Welle vermaß: Er ließ die Welle erst eine Strecke von einigen Metern durch das lange Becken laufen, damit sich anfängliche Störungen, die bei der Erzeugung der Welle auftraten, verliefen. Da die Welle immer wieder an den Beckenenden reflektiert wurde, ließ er sie für eine Meßreihe oft, bei größeren Wellen über hundert Mal, durch das Becken laufen. Bei jedem Durchlauf durch das Becken passierte die Welle einen oder mehrere Beobachterstationen, wo jedes Mal die Zeit genommen wurde. Damit wurde auch die Verringerung der Geschwindigkeit aufgrund der Abnahme der Wellenhöhe gemessen. Der Beobachter fokussierte durch eine Blende das auf der Wasseroberfläche sichtbare Spiegelbild einer hoch über dem Becken angebrachten Kerze. Jede Bewegung der Wasseroberfläche verursachte so eine starke Bewegung des Reflexes der Kerze für den Beobachter. Auf diese Weise konnte der Durchgang eines Wellenscheitels einer sogar ohne Hilfsmittel nicht mehr erkennbaren Welle mit einer Höhe unter einem Millimeter mit großer Genauigkeit gestoppt werden [Russell 1837b].

Nachdem RUSSELL auf diese Weise AIRYs Kritik zurückweisen konnte, waren wesentliche Fragen zur Theorie der solitären Welle weiterhin offen. Lediglich die Atmosphäre, in der diskutiert wurde, war nun angespannt [Emerson 1977]. RUSSELL zog sich aus dieser Diskussion zurück. Unabhängig von der später weiterhin auftretenden Kritik lehrte er seine Einsichten als Antworten auf manche offenen Fragen des Schiffbaus [Russell 1865].

Die Diskussion um RUSSELLs solitäre Welle ging jedoch unvermindert weiter. Im Jahre 1845 wählte der englische Mathematiker S. EARNSHAW den Ansatz u = u(x-ct), um die solitäre Welle zu beschreiben. RUSSELL hatte beobachtet, daß ein senkrecht im Wasser hängender Faden beim Passieren einer solitären Welle senkrecht blieb; er hatte daher u(x) unabhängig von z angenommen. EARNSHAW schienen die Unveränderlichkeit der Wellenform und die Annahme u unabhängig von z abgesicherte experimentellen Fakten zu sein, die als Grundlage eines mathematischen Ansatzes dienen konnten [Earnshaw 1849]. Mit der Beobachtung u = u(x-ct) und der Vorstellung einer diskontinuierlichen Funktion für die Form der solitären Welle hatte RUSSELL unbewußt eine Falle ausgelegt, die erst Lord RAYLEIGH 1876 zu erkennen imstande war [Rayleigh 1876]: u = u(x) kann die Laplace-Gleichung (2.8) nicht erfüllen, also ist eine solche Bewegung nicht wirbelfrei. Mit einer von einem Geschwindigkeitspotential ausgehenden Bewegungsgleichung kann die Rotation nicht beeinflußt werden, sie bleibt konstant. Da das ruhende Wasser vor und hinter der Welle jedoch wirbelfrei ist, muß mit u = u(x) eine Diskontinuität vor und hinter der Welle auftreteten. Damit waren die Bedingungen u = u(x-ct) und η = diskontinuierliche Funktion konsistent und schienen sich gegenseitig zu rechtfertigen. In diese Falle tappte nun auch EARNSHAW, der nach einigen Rechnungen zu einer etwas unübersichtlichen Form der solitären Welle kam:

Diese Formel veranlaßte EARNSHAW zu der grotesk erscheinenden Anschauung, die Welle als abgeschnittenen, umgedrehten cosh²-Bogen inmitten des ansonsten ruhenden Wassers zu betrachten.

Bei diesem Stand der Diskussion meldete sich eine weitere Größe unter den englischen Naturwissenschaftlern zu dem Thema zu Wort. GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903) verfasste einen Review-Artikel [Stokes 1846], in dem er die bekannten Ergebnisse der Theorie der Wasserwellen kurz zusammenfasste. Auch RUSSELLs Ergebnisse streifte STOKES, jedoch in einer irreführenden Weise, da er versuchte, die Theorie der solitären Welle in die der langen Wellen einzubinden. Es scheint, als ob STOKES diese Einbindung als die einzige Möglichkeit ansah, die solitäre Welle theoretisch zu beschreiben. Denn obwohl er andere Lösungsansätze suchte - die auf Diskontinuitäten führenden Lösungsansätze AIRYs und EARNSHAWs wies er als unakzeptabel zurück - kam STOKES immer wieder auf die Degradierung der Wellenhöhe zurück, die er als Dispersion zu interpretieren suchte. Auch gab STOKES an, daß die Ergebnisse der Russellschen Experimente die Geschwindigkeitsbeziehung für lange Wellen c = (gH)^1/2 bestätigten. Diese für vernachlässigbare Wellenhöhe ja zutreffende Bemerkung verdeckte ganz den außergewöhnlichen Charakter der solitären Welle. Obwohl STOKES Zusammenfassung belegt, daß er RUSSELLs Ergebnisse gut studiert haben muß, scheint er die Besonderheiten der solitären Welle schlicht nicht akzeptiert zu haben. In diesem Sinne schloß er den Abschnitt zur solitären Wellen, indem er bemerkte [Stokes 1846, S. 9]:

"It is the opinion of Mr. Russell that the solitary wave is a phenomenon sui generis in nowise deriving its character from the circumstances of the generation of the wave. His experiments seem to render this conclusion probable. Should it be correct the analytical character of the solitary wave remains to be discovered".

Es scheint hier zunächst, daß STOKES die Suche nach einer eigenständigen Theorie für die solitäre Welle noch nicht aufgegeben hatte. Die direkt anschließende Bemerkung offenbart jedoch, daß er sich recht sicher damit war, daß die solitäre Welle in die Theorie der langen Wellen einzuordnen sei:

"A complete theory of this wave should give, not only the velocity of propagation, but also the law of its degradation, at least of that part of degradation which is independent of friction, which is probably the greater part. With respect to the importance of this peculiar wave however, it must be remarked that the term solitary wave as so defined, must not be extended to the tide wave, which is nothing more (as far as regards the laws of its propagation) than a very long wave of which the form may be arbitrary."

Hiermit zeigte STOKES seine ganze Ablehnung gegenüber RUSSELLs Theorie. Denn zum einen verliert eine dispersive solitäre Welle gänzlich ihren besonderen Charakter und zum anderen beschrieb RUSSELL den Charakter der Gezeitenwelle nicht mit ihrer Geschwindigkeit, die genau mit der Theorie der langen Wellen übereinstimmt, sondern mit ihrer Dispersionsfreiheit gepaart mit dem einzelnen Auftreten.

Ein Jahr später bekräftigte STOKES seine Ablehnung der Besonderheiten der solitären Wellen in einer Abhandlung über oszillatorische Wellen [Stokes 1847]. Es erscheint zuerst widersinnig, die solitäre Welle in einer Arbeit über oszillatorische Wellen behandeln zu wollen, doch STOKES zeigte sich im Verlaufe dieser Arbeit sicher, daß die solitäre Welle mit oszillatorischen Wellen beschreibbar sei. Obwohl er damit in die Irre ging, ist sein Beitrag dennoch in zweifacher Hinsicht erwähnenswert: STOKES Ansatz führt ein Stück weit in die Richtung der cnoidalen Wellen, die auch periodisch sind, jedoch für λ ® ¥ in die sech²-Form der Ein-Solitonenlösung der KdV-Gleichung übergehen. Außerdem wird die Arbeit als der historische Beginn des Studiums nichtlinearer Wellen bezeichnet [Dea., Dal. 1984], [Whitham 1974]. STOKES war bestrebt, eine möglichst allgemeingültige Lösung zu erhalten. Daher versuchte er, die in den grundlegenden Gleichungen auftretenden nichtlinearen Terme soweit wie möglich zu berücksichtigen. Sein Ansatz beruht darauf, ebene, formstabile Wellen zu betrachten, bei denen für das Geschwindigkeitspotential φ gilt

Damit kann in der Bernoulli-Gleichung

(2.4)

die Zeitabhängigkeit eliminiert werden und es bleibt

(2.5)

Weiter setzte STOKES als Randbedingung, daß die freie Oberfläche der Flüssigkeit während der Wellenbewegung als solche erhalten bleibt. Für die Beschreibung dieses Umstands wählte STOKES als Variable nicht die Oberfläche η, was ihn zu der heute üblichen Gleichung (2.14) geführt hätte, sondern p(x,z) an der Stelle p = 0. Dies führt zu der Gleichung

(2.6)

Der Druck p aus Gleichung (2.5) und p_t = -c p_x in Gleichung (2.6) eingesetzt liefert

(2.7)

Diese, bis hierher noch exakte, Gleichung diente STOKES als Ausgangspunkt für seine weiteren Rechnungen. Hierbei beschränkte er sich nicht, wie damals üblich, nur auf die einfachsten Terme, sondern berücksichtigte auch die in φ quadratischen Terme in der Klammer von Gleichung (2.7). STOKES hier folgende, längere Rechnungen werden in [Bullough 1988] diskutiert und es bleibt hier, auf die Ergebnisse und STOKES Folgerungen einzugehen. Aus der Laplace-Gleichung, die aus der von STOKES angenommenen Inkompressibilität und Wirbelfreiheit des Wassers folgt

(2.8)

bestimmte er das Geschwindigkeitspotential φ. Hierbei legte er periodische Randbedingungen fest und suchte die allgemeine Lösung für φ durch Bedingungen einzuschränken. Er entwickelte φ in eine Reihe, deren Konvergenz von verschiedenen Kriterien abhing. Das Ergebnis für φ wiederum eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung (2.5) für die freie Wasseroberfläche lieferte ihm eine Lösung für η. In einer ersten Näherung gelangte Stokes auf diesem Wege zu

(2.9)

mit m = 2π/λ und A = Konstante. Die von STOKES für diese Näherung gefundene Wellengeschwindigkeit

(2.10)

entspricht AIRYs Resultat (2.3) für lange Flachwasserwellen. In einer zweiten Näherung setzte STOKES sein erstes Resultat für φ in die quadratischen Terme der Gleichung (2.7) ein. Mit dieser Gleichung kam er zu der Form der Wasseroberfläche

mit a, K = Konstanten. Diese Gleichung stellt für kleine mH die ersten zwei Terme der Fourierentwicklung der cn²-Funktion dar, worauf KORTEWEG und de VRIES 1895 hinwiesen. Stokes hatte allerdings periodische Randbedingungen angenommen, und konnte somit von cn² nicht zu sech² kommen.

Die periodische Form der Wellenbewegung wurde von STOKES unter den angenommenen Randbedingungen für die einzig mögliche Bewegung gehalten. Das brachte ihn dazu, einen Kommentar zu RUSSELLs Arbeiten anzufügen. Er bemerkte, wie auch schon AIRY vor ihm, daß eine Form wie Gleichung (2.9) keine gleichförmig bewegte und gleichzeitig solitäre Welle hervorbringen kann. Die von RUSSELL beobachtete Abnahme der solitären Welle sah er deshalb wie AIRY als für diese charakteristisch an. STOKES Argumentation enthält jedoch zwei Fehler. Zum einen war er wie AIRY in seinem Ansatz für φ als Lösung der Laplace-Gleichung von oszillatorischen Wellen ausgegangen. Das schien ihm von vorn herein unausweichlich zu sein. Zum anderen war er von sehr langen Wellen und später sogar von λ » H ausgegangen, was für solitäre Wellen nicht zutreffen muß. Die solitäre Welle betrachtend, bemerkte er dazu, daß seine Näherung für sehr kleine solitäre Wellen gelte. Und wenn diese somit der Gleichung (2.9) folgten, so müßten es auch die großen solitären Wellen tun, die sich damit nicht unverändert bewegen könnten. Auf den Fehler dieses Gedankengangs kam STOKES etwa 1880 [Stokes 1891]: Kleine solitäre Wellen konnten eben auch mit sehr langen Wellen der Form (2.9) angenähert werden, die nur sehr wenig dispersiv sind. Für große solitäre Wellen gilt dies jedoch nicht.

Vielleicht war STOKES mit seiner "Lösung" des Russellschen Problems selber nicht zufrieden. Denn zwei Jahre später versuchte STOKES mit einem völlig anderen Ansatz zu einer der solitären Welle nahekommenden mathematischen Beschreibung zu gelangen [Stokes 1849]. RUSSELLs Beobachtung des senkrecht im Wasser hängenbleibenden Fadens beim Passsieren einer solitären Welle griff STOKES auf und setzte wie EARNSHAW explizit u = u(x). Diese Näherung führt jedoch wieder zu der Geschwindigkeit der Welle von LAGRANGE (2.1). STOKES schien sich in einem Zwiespalt zu befinden. Einerseits legt die Weise, wie er RUSSELL zitierte und einige seiner Ergebnisse verwendete, um eigene Rechnungen auf ihnen aufzubauen oder eigene Ergebnisse zu bestätigen, nahe, daß er RUSSELLs Bericht von 1844 schätzte. Andererseits konnte er mit seinen, ihm allgemein scheinenden Ergebnissen die solitäre Welle nicht erklären. Ein Grund hierfür, die Näherung durch lange Wellen, schien ihm bewußt zu sein, wie der Abschluß seiner Betrachtung zeigt [Stokes 1849, S. 228]:

"...in the case of a solitary wave artificially excited in a canal ... it appears to be necessary to take account of the finite length, as well as finite hight of the wave."

Es scheint, als ob STOKES das Problem der solitären Welle über Jahrzehnte nicht vergessen konnte. Denn er kam etwa 1880, also etwa 34 Jahre nach seiner ersten Arbeit zur solitären Welle, beim Nachdenken über Wellen auf seinen oben beschriebenen zweiten Fehler [Stokes 1891]. Als er LORD RAYLEIGH auf das Problem ansprach, machte dieser ihn auf seine eigene Arbeit zu solitären Wellen aufmerksam [Rayleigh 1876], womit nun STOKES wußte, daß es solitäre Wellen geben konnte. Seinen ersten Fehler hatte STOKES zu diesem Zeitpunkt noch nicht erkannt und versuchte, mit einer "trial-and-error-Methode" den Umständen der solitären Welle auf die Spur zu kommen [Stokes 1883, 1891].

Weitere Versuche, mit dem Earnshawschen Ansatz zu einer Beschreibung der solitären Welle zu gelangen, unternahm ANDREW ROBERTSON [Robertson 1850, 1851, 1852], der zu einer der Russellschen Angabe in der Form ähnlichen Wellengeschwindigkeit gelangte, nämlich

Bei der mathematischen Beschreibung physikalischer Phänomene hingen die britischen Naturwissenschaftler stark an ihren Vorstellungen über die Dinge [Cros., Smith 1978]. Dienten diese als Grundlage für mathematische Ansätze, so konnten Fehler in den Annahmen zu mathematischen Schwierigkeiten führen: RUSSELL wie AIRY hatten a priori angenommen, daß eine Welle mit einer Sinusfunktion verknüpft sein müsse und waren damit in die Irre gelaufen. Ebenso hartnäckig hielt sich die Vorstellung von der diskontinuierlichen Funktion für die solitäre Welle, der u.a. RUSSELL, AIRY und EARNSHAW anhingen. Erst durch die Assimilation französischer analytischer Techniken konnte sich die britische Mathematische Physik von diesem Denkansatz lösen und weiterentwickeln [Wise 1981]. Doch dieser Vorgang war langwierig.

Im deutschsprachigen Raum wurde in diesen Jahrzehnten so gut wie gar nicht auf die Entdeckung der solitären Welle eingegangen. Lediglich GOTTHILF HAGEN (1797 - 1884), der in einer Abhandlung "Über Wellen auf Gewässern von gleichmäßiger Tiefe" [Hagen 1861] oszillatorische Wellen untersuchte, verglich RUSSELLs Ergebnisse mit seinen eigenen. Da HAGEN jedoch a priori davon ausging, daß es einzelne Wellen ohne nachfolgende oszillatorische Wellen nicht geben konnte, stellte er die Zuverlässigkeit von RUSSELLs Forschungen in Abrede. HAGENs Urteil über RUSSELLs Arbeit fiel vernichtend aus: Die Abweichungen in den Eigenschaften der solitären Welle im Vergleich zu oszillatorischen Wellen begründete HAGEN mit Fehlern und Unzuverlässigkeiten in RUSSELLs Arbeiten. Auch die von der Wellenamplitude abhängige Wellengeschwindigkeit zweifelte HAGEN an und kritisierte Einzelheiten an der Russellschen Meßapparatur.

In Frankreich wurden die britischen Forschungsergebnisse zur solitären Wasserwelle sehr schnell aufgenommen und diskutiert. Über seine Arbeiten hatte RUSSELL im Jahre 1837 je einen ausführlichen Bericht in England [Russell 1837b] und Schottland [Russell 1840a] vorgelegt. Der schottische Bericht wurde zwar erst 1840 gedruckt, war jedoch schon 1837 als Bericht von einem Korrespondenten der "Annales des Ponts et Chaussées" nach Frankreich gebracht worden. Dieser Bericht wurde noch im selben Jahr übersetzt und mit allen Tabellen und Zeichungen in den Annales abgedruckt [Russell 1837c]. Denn in Frankreich hatte man auch schon das Phänomen der abnehmenden Reibung bei höheren Geschwindigkeiten bei Kanalbooten beobachtet und maß daher RUSSELLs Forschungen große Bedeutung zu [Russell 1837c, S. 143 Fußnote].

Die erste Reaktion auf diesen Artikel in den "Annales" kam von ANATOLE DE CALIGNY (1811 - 1892), der sich mit Wasserhebern beschäftigt hatte und eigene Erfahrungen in RUSSELLs Experimenten wiederfand. Doch die Art, mit der er ab 1842 mit recht vielen kleinen Veröffentlichungen zu Wellenbewegungen die französische Wissenschaft in die Ergebnisse seiner Experimente zur solitären Welle einzuführen versuchte, taugte mehr zur Verwirrung als zur Erklärung des Phänomens [Caligny 1842-72, 1843, 1844, 1848, 1866]. In seiner Arbeit von 1844 z.B. trennte CALIGNY die solitäre Welle in zwei unabhängige Phänomene: Als onde solitaire bezeichnete er die Welle, die durch Hinzufügen einer Menge Wassers an einem Ende des Versuchsbeckens entsteht und dann unverändert duch das Becken läuft. Als onde de translation hingegen bezeichnete er die sich vor einem gezogenen Kahn ausbildende Welle. Damit stieß er in das gleiche Horn wie AIRY - wahrscheinlich ohne dessen Arbeit [Airy 1845] zu kennen - der behauptet hatte, daß nur eine äußere Kraft wie z.B. ein Kahn eine einzelne und unveränderte Welle aufrecht erhalten konnte. CALIGNY schilderte eigene Versuche mit der onde de translation, die Zweifel an den Gesetzen der onde solitaire aufkommen ließen, so CALIGNY. Durch dieses Vermischen der Phänomene kämen in der englischen Literatur die Meinungsverschiedenheiten über die Geschwindigkeit der Wellen zustande. CALIGNY versicherte aus eigenen Versuchen, daß für eine onde solitaire c² = gH gilt. Bei der onde de translation hingegen sei c auch von dem sie erzeugenden Boot oder sonstigen Gegenstand abhängig. Je größer der Gegenstand sei, desto schneller sei die Welle. Damit widersprach er RUSSELLs Aussagen direkt. Daß der die Welle erzeugende Gegenstand Einfluß auf die Wellenhöhe hat und diese wiederum auf die Wellengeschwindigkeit, scheint CALIGNY nicht bemerkt zu haben. Auch in seinen späteren Arbeiten zur solitären Welle schaffte CALIGNY nicht wesentlich mehr Klarheit, wenngleich er auch nun die solitäre Welle und Translationswelle als ein Phänomen ansah. Immer wieder zitierte er RUSSELL und brachte eigene Beobachtungen mit dessen Ergebnissen in Verbindung. Doch da er u.a. die Bewegung der Wassermoleküle innerhalb der solitären Welle mit deren Bewegung in oszillatorischen Flachwasserwellen verglich, kam er zu einigen Widersprüchen. CALIGNY machte qualitative Beobachtungen und so gut wie keine Messungen. Daher konnte er nie mit der Genauigkeit der Russellschen Studien konkurrieren, die er zitierte. Seine Arbeiten können eher als ein Aufmerksammachen auf die solitäre Welle und auf RUSSELLs Arbeiten in Frankreich gewertet werden.

Wesentlich genauer ging HENRI EMILE BAZIN (1829-1917) auf RUSSELLs Experimente ein [Bazin 1852, 1865]. Im Jahre 1859 machte er eigene Experimente zur solitären Welle in einem Teilstück des Canal du Bourgogne bei Dijon sowie in einem flachen, langen Graben daneben. In beiden Gewässern erzeugte er durch Hinzufügen einer größeren Menge Wasser aus Schleusen eine positive solitäre Welle und durch Entfernen einer Menge Wasser durch eine Schleuse eine negative solitäre Welle. Die Ergebnisse seiner Versuche stimmen bis auf ihre wesentlich geringere Genauigkeit mit denen von RUSSELL überein. Daher anerkannte BAZIN ohne Umschweife RUSSELLs Arbeiten und bezeichnete ihn als einen befähigten Experimentator. BAZIN führte seit 1855 Studien zum Fluß von Wasser in Röhren und Kanälen von HENRY PHILIBERT GASPARD DARCY (1803-1858) fort und sein Forschungsschwerpunkt war die Reibung von strömenden Gewässern [Rouse, Ince 1857]. Die Untersuchung von Wellen in Kanälen mit und ohne Strömung, insbesondere der solitären Welle und der Flutwelle, bildete nur ein Nebengebiet seiner Forschungen. Neue wesentliche Erkenntnisse über die solitäre Welle vermochte BAZIN mit seinen Experimenten nicht zu gewinnen und an einem theoretischen Erklärungsansatz seiner Ergebnisse mangelte es ganz, so daß BAZINSs Versuche als eine Bestätigung der Russellschen experimentellen Arbeiten gesehen werden können.

Weiter mit Kapitel 2.3: Mathematische Beschreibungen der solitären Welle

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