5.1 Weitere frühe Anwendungen von Solitonengleichungen
in der Physik
Einen exzellenten ersten Überblick über die frühen Anwendungen von Solitonengleichungen in der Physik lieferten schon in den frühen siebziger Jahren die Artikel [BEMS 1971] und [SCM 1973]. Die Anwendung der SG-Gleichung als Gleichung für wandernde Versetzungen in der Festkörperphysik wurde schon in Kapitel 4 ausführlich untersucht. Eine weitere frühe Anwendung von Solitonen und Solitonengleichung, diesmal als Modell in der Feldtheorie, verdient besondere Beachtung: Die SG-Gleichung wurde 1958 als Feldgleichung von TONY HILTON ROYLE SKYRME (1922 - 1987) verwendet, der Lösungen der SG-Gleichung als Modell für Elementarteilchen vorschlug [Skyrme 1958]. Die zugrunde liegende Idee, Teilchen nicht als harte Kugeln oder gar Punkte zu betrachten, sondern als Gebiete hoher Feldintensität, ist schon alt. Bereits Lord KELVIN mißfiel das Modell punktförmiger Atome und er schlug vor, Atome stattdessen als Wirbel in einer Art Flüssigkeit zu betrachten [Kelvin 1904]. Während der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts wurden immer wieder Versuche unternommen, eine Theorie zu finden, die die Elementarteilchen als ausgedehnte Feldobjekte behandelte. Einen Überblick hierüber liefert die Arbeit [BEMS 1971]. In seinen späteren Jahren verwandte EINSTEIN viel Mühe darauf, die Dualität zwischen dem punktförmigen Teilchen und dem Feld in einem vereinheitlichenden Modell aufzuheben. Er verfolgte das Ziel, eine nichtlineare Feldgleichung zu finden, deren nichtsinguläre Lösungen Teilchen, Wellen und Wechselwirkungen darzustellen vermochten. Ein naheliegender Ansatz ist die semilineare Wellengleichung o u = f(u) für das Feld u. Von hier aus ist es nicht weit bis zur SG-Gleichung, und eben diesen Weg beschritt SKYRME, der ebenfalls eine "anschauliche" Beschreibung des Nukleons als ein ausgedehntes Objekt bevorzugte. SKYRME selbst glaubte nie an die strenge Gültigkeit einer Theorie der Punktteilchen, sondern betrachtete solche Beschreibungen eher als Krücke, die zum Verständnis einiger Eigenschaften dienen konnten [Skyrme 1988].
Ausführliche Kommentare zur Geschichte des Modells von SKYRME liefern DALITZ in einer Biographie SKYRMEs [Dalitz 1988] sowie die Arbeiten [Skyrme 1988], [Sanyuk 1992] und [MRS 1993]. Die Entstehung des Skyrme-Modells sei deshalb hier nur äußerst kurz wiedergegeben. SKYRME begann mit seiner ersten Arbeit zu Kernmodellen [Skyrme 1954] hydrodynamische Ideen zur Beschreibung ausgedehnter Kerne einzubringen. So führte er zur Lösung eines Widerspruches zwischen experimentellen Ergebnissen und der Theorie ein Modell des Atomkerns ein, das diesen als klassische Flüssigkeit beschreibt, eine Meson-Flüssigkeit, in der die Nukleonen als wirbelartige Gebilde vorgestellt werden. Neue Entdeckungen zur Symmetrie der schwachen Wechselwirkung veranlaßten SKYRME zu Modifikationen seines Meson-Flüssigkeit-Modells. Überlegungen zur Vereinfachung seiner Theorie schließlich führten ihn zur SG-Gleichung als Feldgleichung [Skyrme 1958]. SKYRME war die Integration der SG-Gleichung mittels Bäcklundtransformation unbekannt. Es gelang ihm jedoch, eigenständig zu Lösungen zu gelangen. Als hervorragender Mathematiker und Gewinner etlicher mathematischer Preise war er in Los Alamos, wo er am Manhattan-Projekt mitgewirkt hatte, bekannt als Experte für das Auffinden von Lösungen von Differentialgleichungen auf analytischem und numerischem Wege. So gelang es ihm auch, die Ein-Solitonenlösung, mehrere Zwei-Solitonenlösungen, sowie oszillatorische Lösungen der SG-Gleichung zu finden, die als verschiedene Elementarteilchen interpretiert werden konnten [Skyrme 1962], [Per., Sky. 1962]. SKYRME führte sogar zusammen mit PERRING numerische Experimente zu Kollisionen von Solitonenlösungen der SG-Gleichung durch [Per., Sky 1962]. Hierbei entdeckten sie die Kollisionseigenschaften der Solitonenlösungen der SG-Gleichung. Sie stellten u.a. das gleiche Experiment unabhängig von SEEGER an, das SEEGER 1953 vorgestellt hatte: Eine oszillatorische Lösung der SG-Gleichung (bei SKYRME und PERRING als Meson interpretiert) trifft auf die Ein-Solitonenlösung der SG-Gleichung (ein ruhendes Baryon) und läßt es nach der Kollision verschoben und weiterhin ruhend zurück. SKYRME interpretierte die oszillatorischen Lösungen als Mesonen. In den Solitonenlösungen sah er Modelle für Baryonen [Skyrme 1961, 1962]. Mit dieser Theorie der später sogenannten "Skyrmions" - (SKYRME wurde damit der dritte Forscher nach FERMI und BOSE, nach dessen Namen ein Elementarteilchen benannt wurde.) - war es ihm möglich, in einer Theorie Bosonen und Fermionen zu vereinigen. Das Modell ist analog zu SEEGERs Vorstellungen, der in einer Theorie die (oszillatorischen) Phononen und (teilchenartigen) Versetzungen behandeln konnte und somit Phonon-Teilchen-Wechselwirkung mit einer Gleichung zu beschreiben vermochte.
Ebenso wie SEEGERs Arbeiten zur SG-Gleichung in der Theorie der Versetzungen zehn Jahre früher hatten auch SKYRMEs wegweisende Arbeiten nicht die Durchschlagskraft, um sein Modell zur weitgehenden Akzeptanz zu verhelfen. Erst in den siebziger Jahren wurden seine Arbeiten wieder aufgegriffen und Anfang der Achtziger, also gut zwanzig Jahre nach ihrer Veröffentlichung, wurde die Reichweite seiner Ideen erkannt und sie wurden weiter ausgebaut. Die damalige Situation wird in [MRS 1993] sehr bildhaft beschrieben: In den 60er Jahren war die Neuheit von SKYRMEs Gedanken zur Teilchenphysik so überwältigend, daß nur wenige Amateure in das "ruhige Becken seiner Theorie" sprangen, die so weit entfernt vom Hauptstrom der Entdeckungen in der Teilchenphysik schien. Erst in den 80er Jahren, als das Skyrme-Modell als Grenzfall der Quantenchromodynamik bekannt wurde, wurde das "Becken" zeitweilig gestürmt.
SKYRME war in den frühen sechziger Jahren in Großbritannien kein unbekannter Physiker und seine Feldtheorie mit der SG-Gleichung hätte den britischen Festkörperphysikern auffallen müssen. Innerhalb der britischen Festkörperphysik war die SG-Gleichung als Versetzungsmodell bekannt; nicht nur FRANK sondern auch SEEGER hatte es durch Vorträge bekannt gemacht [Seeger, pers. Mitt.]. Es ist daher verwunderlich, daß die Verbindung vom Versetzungsmodell der SG-Gleichung und SKYRMEs Modell der Feldtheorie nicht vollzogen wurde.
Die dritte Anwendung der SG-Gleichung nach ihrer Entdeckung als Modell für wandernde Versetzungen durch SEEGER und für Elementarteilchen durch SKYRME wurde 1959 veröffentlicht, also nur ein Jahr nachdem SKYRME die SG-Gleichung erstmalig erwähnte. Der Zusammenhang, in dem die SG-Gleichung diesmal gesehen wurde, ist die Dynamik von wandernden Blochschen Wänden. WERNER DÖRING hatte 1948 darauf aufmerksam gemacht [Döring 1948], daß die Verteilung der Magnetisierungsvektoren innerhalb einer Blochschen Wand sich bei Bewegung der Wand ändert. Daher ist der Energieinhalt der Wand bei Bewegung größer als in Ruhe. DÖRING zeigte, daß der Energieunterschied proportional zum Quadrat der Wanderungsgeschwindigkeit ist, gerade so, als ob die Wand eine träge Masse hätte. 15 Jahre später wurde von U. ENZ gezeigt [Enz 1963, 1964], daß die SG-Gleichung als ein - auf eine räumliche Dimension reduziertes - Modell für die Dynamik der wandernden Blochschen Wand verwendet werden kann. ENZ gab die Ein-Solitonenlösung der SG-Gleichung an, indem er, wie vor ihm SEEGER und andere, die zeitunabhängige "SG-Gleichung" löste und durch Lorentztransformation die Dynamik wieder einfügte. Er machte auch Äußerungen zu Vorgängen bei Kollision zweier solcher Teilchen, die jedoch nicht korrekt sind, da ENZ behauptete, zwei gleiche Teilchen würden sich abstoßen (wie Elektronen) und Teilchen und Antiteilchen würden sich auslöschen. Bemerkenswert ist eine Äußerung von ENZ, die zur Teilchenphysik weist [Enz 1963, S. 1393]:
"It should be noted, however, that in this stage of the theory no attempt is made to identify a certain particle with the present model. A comparison of the invariant ±π with the baryon number is also possible."
Diese Andeutung von ENZ hatte wenige Jahre vor 1963 in der Theorie SKYRMEs ihre vollständige Ausarbeitung gefunden.
Nur wenige Jahre nach Erscheinen der Gedanken von SKYRME und ENZ zur SG-Gleichung fand die SG-Gleichung Anwendung in der nichtlinearen Optik. Unabhängig voneinander kamen 1965 zwei Arbeitsgruppen zu ganz ähnlichen Ergebnissen: F. T. ARECCHI und R. BONIFACIO zeigten, daß die SG-Gleichung als fundamentale Gleichung bei der Beschreibung der Wanderung ultrakurzer optischer Pulse durch ein 2-Niveau-System dienen kann [Are., Bon. 1965]. Sie verwandten die SG-Gleichung und suchten nach Lösungen. S. L. McCALL und E. L. HAHN entdeckten durch numerische Berechnungen, daß ultrakurze Lichtpulse oberhalb einer bestimmten Schwellenenergie ein resonantes optisches Medium durchlaufen können, so als wäre es transparent [McC., Hahn 1965]. Sie kamen 1965 noch nicht zur SG-Gleichung, doch in den Gleichungen dieser sogenannten selbstinduzierten Transparenz, ist als Grenzfall die SG-Gleichung enthalten, wie sie später fanden [McC., Hahn 1967]. Daher führen die Lösungen beider Modelle zu Solitonen. Experimentell [Pat., Slu. 1967] wie numerisch [Gib., Slu. 1970] wurde gezeigt, daß diese Gleichungen der selbstinduzierten Transparenz Lösungen erlauben, die - ähnlich wie die Lösungen der KdV-Gleichung von KRUSKAL und ZABUSKY (s. Kap. 5.2, und Abb. 5.2) - zu einzelnen kohärenten Pulsen mit Solitoneneigenschaften zerfallen. Im Jahre 1967 gelangte G. L. LAMB zu den gleichen Ergebnissen wie ARECCHI und BONIFACIO zwei Jahre zuvor, jedoch wohl unabhängig von ihnen, da er sie nicht zitierte [Lamb 1967]. Da LAMB auf die Arbeit von SEEGER, DONTH und KOCHENDÖRFER [SDK 1953] aufmerksam gemacht wurde, wie er in einer Fußnote bemerkte, stand ihm schon 1967 die Methode der Bäcklundtransformation zur Verfügung. Mit deren Hilfe gelangte LAMB zu Mehrsolitonenlösungen der SG-Gleichung, die er als Beschreibung mehrerer Lichtpulse verwenden konnte. In seiner nur zwei Seiten langen Arbeit [Lamb 1967] stellte LAMB die Mehrsolitonenlösungen nur vor, ohne auf Kollisionseigenschaften einzugehen. LAMB war auf dem Gebiet der nichtlinearen Optik die ersten Jahre nach 1967 der einzige, der explizit die Bäcklundtransformation als Integrationsmethode der SG-Gleichung immer wieder vorstellte [Lamb 1969, 1971]. Da LAMB auch auf die Arbeit [SDK 1953] hinwies, war die Verbindung zwischen der Entwicklungslinie in der Festkörperphysik und der zum Übergang in die klassische Periode der Solitonentheorie hergestellt. Andere der vielen Autoren, die nun auf dem Gebiet der ultrakurzen Pulse arbeiteten (eine Übersicht liefern [BEMS 1971] und [SCM 1973]) griffen die Bäcklundtransformation in den sechziger Jahren meines Wissens noch nicht auf.
In einem weiteren und fünften Gebiet der Physik wurden in den sechziger Jahren SG-Solitonen entdeckt. Studien über die Bewegungen des magnetischen Flusses in supraleitenden Materialien zeigten 1966, daß SG-Solitonen Quanten des magnetischen Flusses in Josephson-Barrieren zwischen Supraleitern repräsentieren können. Die SG-Gleichung wurde in diesem Zusamenhang zuerst von O. KULIK erwähnt [Kulik 1966]. KULIK integrierte die SG-Gleichung in ihrer zeitunabhängigen Form, wie auch SEEGER, und kam zu Lösungen ähnlich der Gleichungen (4.16) und zu einer der Abb. 4.7 ähnlichen Zeichnung. Die direkte Verbindung von der Supraleitung zu SEEGER et alias gelang ein Jahr später P. LEBWOHL und M. J. STEPHEN [Leb., Ste. 1967], also im gleichen Jahr wie LAMB, die auf dem Artikel von KULIK aufbauen konnten. In ihrer Arbeit zu Bewegungen des magnetischen Flusses in Josephsonschen Barrieren verwandten sie die SG-Gleichung als Bewegungsgleichung und konnten mit Hilfe der von SEEGER dargestellten Bäcklundtransformation zu Mehrsolitonenlösungen gelangen. Es macht den Eindruck, als ob sie den Hinweis auf die Arbeiten SEEGERs, und damit auch auf die Bäcklundtransformation, von ROBERT HOBART, einem amerikanischen Feldtheoretiker, erhalten hätten, der schon in den fünfziger Jahren an dem Frenkel-Kontorova-Modell gearbeitet hatte (s. seine Bemerkung am Ende des Kapitels 4.1). Damit wurde gleichzeitig und doch unabhängig von LAMB auch auf dem Gebiet der Supraleitung auf die Entwicklungslinie in der Festkörperphysik aufmerksam gemacht. Hinweise zu weiteren Autoren, die etwas später an der SG-Gleichung als Modell in der Supraleitung gearbeitet haben finden sich in [BEMS 1971] und [SCM 1973].
Wie sehr in den sechziger Jahren an nichtlinearen Gleichungen in der Form o u = f(u) zur Beschreibung der oben geschilderten Probleme gearbeitet wurde und daß die Forscher in verschiedenen physikalischen Disziplinen sich auf diesem Gebiet auch austauschten, zeigen verschiedene Bemerkungen. So schrieb LEBWOHL [Leb., Ste. 1967, S. 376]:
"The nonlinear term in the equation of motion of vortex lines is taken, in accordance with Josephson, to be sin φ, where φ is the phase difference between the two superconductors. This simplifies the analysis considerably but the phenomena described here probably only depend quantitatively on the form of this term. Hobart (R. H. Hobart, private communication) has indicated how to obtain solutions of some related nonlinear equations."
ROBERT HOBART wiederum meinte zu dem Thema [persönliche Mitteilungen]:
"In '58 I read Albert Einstein: Philosopher-Scientist, edited by P. A. Schilpp, 1949, pp 2-95. Einstein expressed his wish to find a nonlinear field equation with nonsingular solutions representing particles, waves, and interactions alltogether. I set myself the task of finding a "toy" example. Clearly this should be one-dimensional, real, and scalar. The simplest choice is the wave equation with the right hand zero replaced with an unknown function of the field: o u = f(u)."
In einem anderen Brief an den Autor dieses Artikels schrieb HOBART über die SG-Gleichung:
"I bet a hundred researchers (myself included) have independently invented the model."
Die physikalischen Anwendungsmöglichkeiten der Korteweg-de Vries-Gleichung (KdV-Gleichung), die schon in den sechziger Jahren entdeckt wurden, sind nicht so zahlreich und verschieden wie die der SG-Gleichung. Einmal abgesehen von der Kontinuisierung des Fermi-Pasta-Ulam-Problems (siehe nächstes Kapitel), diente die KdV-Gleichung zuerst nur zu Beschreibungen von Problemen, die aus der Hydrodynamik oder verwandten Gebieten stammten. Weiter ist hier die Plasmaphysik zu erwähnen. Im Jahre 1960 wurde von CLIFFORD GARDNER und G. K. MORIKAWA in unveröffentlichten Arbeiten des Courant Institute for Mathematical Sciences die KdV-Gleichung erwähnt als Näherung für Plasmawellen. Auch die Verbindung zur Hydrodynamik wurde hergestellt [Gar., Mor. 1960]. Die KdV-Gleichung gab die Möglichkeit, leichte Nichtlinearitäten durch dispersive Effekte auszugleichen. Wenige Jahre später wurde in einer russischen Arbeit zur Bewegung von Druckwellen in einem kalten Plasma [Ber., Kar. 1964] die KdV-Gleichung sowie die Arbeit von GARDNER und MORIKAWA erwähnt. In ihr findet sich der Hinweis auf eine bisher eher unbekannte Arbeit, daß nämlich neben GARDNER und MORIKAWA auch R. ZAGDEEV [Zagdeev 1960] die Analogie zwischen Flüssigkeitswellen in einem Kanal endlicher Tiefe und Plasmawellen am Beispiel der KdV-Gleichung erkannt hätte. Nach weiteren Arbeiten, die die KdV-Gleichung als Gleichung für Plasmawellen verwendeten [Morton 1964] [Was., Tan. 1966], [Ber., Kar. 1967] kann die KdV-Gleichung auf diesem Gebiet ab 1966 als etabliert gelten. Fernerhin wurde die KdV-Gleichung noch in den sechziger Jahren als Gleichung für Druckwellen in Flüssigkeits-Gas-Gemischen angegeben [Wijngaarden 1968], bevor sie in den siebziger Jahren in mehreren Gebieten der Physik Verwendung fand.
Auch die Boussinesq-Gleichung wurde schon in den fünfziger Jahren wieder aufgegriffen und zwar in ihrem originären Zusammenhang als Gleichung für Wasserwellen [Ursell 1953], sowie im Zusammenhang mit dem Fermi-Pasta-Ulam-Problem als Gleichung für Bewegungen in einem nichtlinearen Gitter [Zabusky 1967]. Die Nichtlineare Schrödingergleichung und ihre sech-Lösung, eine erst in der klassischen Periode der Solitonentheorie wichtig werdende Solitonengleichung, wurde schon ab 1964 in dem Gebiet der nichtlinearen Optik verwendet [CGT 1964] [Kelley 1965].
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